设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1．求数列{an}的通项公式；令cn=(-1)n+1logann+12，数列{c

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令cn=(-1)n+1logann+12，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N*且n≥2时，T2n＜22． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是an2n-an-12n-1=1，所以数列{an2n}是公差为1的等差数列．（5分）
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以an2n=2+(n-1)=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ．（6分）
（2）因为cn=(-1)n+1•1n，则当n≥2时，T2n=1-12+13-14++12n-1-12n=(1+12+13++12n)-2(12+14++12n)=1n+1+1n+2++12n．（9分）
下面证1n+1+1n+2++12n＜22
令g(x)=ln(x+1)-xx+1(x＞0)，则g′(x)=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2＞0，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，ln(x+1)＞xx+1
令x=1n，lnn+1n＞1n+1⇒ln(n+1)-lnn＞1n+1，ln(n+2)-ln(n+1)＞1n+2，
，ln(n+3)-ln(n+2)＞1n+3，，ln(2n)-ln(2n-1)＞12n
以上n个式相加，即有ln(2n)-lnn＞1n+1+1n+2++12n
∴1n+1+1n+2++12n＜ln(2n)-lnn=ln2＜22（14分）

解析

an2n

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。