数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，点在直线y=n+1nx+n+1上．求证：数列{Snn}是等差数列；若数列{b

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=3，点（S_n，S_n+1）在直线y=n+1nx+n+1（n∈N*）上．
（Ⅰ）求证：数列{Snn}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=an•2an，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设Cn=Tn22n+3，求证：C1+C2+…+Cn＞2027． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵点（S_n，S_n+1）在直线y=n+1nx+n+1（n∈N*）上，
Sn+1=n+1nSn+n+1，
同除以n+1，则有：Sn+1n+1-Snn=1
∴数列{Snn}是以3为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S_n=n²+2n（n∈N*），∴当n=1时，a₁=3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，经检验，当n=1时也成立，
∴a_n=2n+1（n∈N*）．
∵bn=an2an，∴b_n=（2n+1）•2²ⁿ⁺¹，
T_n=3•2³+5•2⁵++（2n-1）•2^2n-1+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹4T_n
=3•2⁵++（2n-3）2^2n-1+（2n-1）2²ⁿ⁺¹+（2n+1）2²ⁿ⁺³
解得：T_n=(23n+19)•22n+3-89．
（Ⅲ）∵Cn=Tn22n+3=2n3+19-19•(14)n
∴C1+C2+…+Cn=23•n(n+1)2+19•n-19•14[1-(14)n]1-14=3n2+4n9-127+127(14)n＞3n2+4n9-127
≥79-127=2027．

解析

n+1n

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。