已知公差为d的等差数列an，0＜a1＜π2，0＜d＜π2，其前n项和为Sn，若sin=sina2，cos=cosa2．求数列a

题文

已知公差为d的等差数列a_n，0＜a₁＜π2，0＜d＜π2，其前n项和为S_n，若sin（a₁+a₃）=sina₂，cos（a₃-a₁）=cosa₂．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设bn=Sn(n+1)•2n-1，求数列b_n的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵sin（a₁+a₃）=sina₂，∴sin2a₂=2sina₂cosa₂=sina₂，∴sina₂（2cosa₂-1）=0，
∵0＜a₁＜π2，0＜d＜π2，∴0＜a₂＜π，∴sina₂≠0，∴cosa2=12，∴a2=π3，
∵cos（a₃-a₁）=cosa₂，∴cos2d=cosπ3，∴d=π6，∴a1=π6，∴an=π6+(n-1)•π6=nπ6，∴数列a_n的通项公式为an=nπ6．
（2）∵Sn=n(a1+an)2=n(n+1)π12，∴bn=Sn(n+1)•2n-1=πn6•2n=π6•n2n，
∴Tn=π6(12+2•122+3•123+4•124++n•12n)①，12Tn=π6[122+2•123+3•124+4•125++(n-1)•12n+n•12n+1]②，
①-②得12Tn=π6(12+122+123+124++12n-n•12n+1)=π12(1-12n)1-12-nπ6•12n+1=π6(1-12n)-nπ6•12n+1，
∴Tn=π3-(n+2)π3•2n+1．

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“已知公差为d的等差数列an，0＜a1＜π.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。