已知数列{an}满足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2…an-1，记bn-2=a12+a22+…+an2-a1a2…an．求证

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=a₃=2，a_n+1=a₁a₂…a_n-1（n≥3），记b_n-2=a₁²+a₂²+…+a_n²-a₁a₂…a_n（n≥3）．
（1）求证数列{b_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）设cn=1+1b2n+1b2n+1，数列{cn}的前n项和为S_n，求证：n＜S_n＜n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）方法一  当n≥3时，因b_n-2=a₁²+a₂²+…+a_n²-a₁a₂…a_n①，
故b_n-1=a₁²+a₂²+…+a_n²+a_n+1²-a₁a₂…a_na_n+1②． …（2分）
②-①，得  b_n-1-b_n-2=a_n+1²-a₁a₂…a_n（a_n+1-1）=a_n+1²-（a_n+1+1）（a_n+1-1）=1，为常数，
所以，数列{b_n}为等差数列． …（5分）
因  b₁=a₁²+a₂²+a₃²-a₁a₂a₃=4，故  b_n=n+3．   …（8分）
方法二  当n≥3时，a₁a₂…a_n=1+a_n+1，a₁a₂…a_na_n+1=1+a_n+2，
将上两式相除并变形，得  a_n+1²=a_n+2-a_n+1+1．…（2分）
于是，当n∈N*时，b_n=a₁²+a₂²+…+a_n+2²-a₁a₂…a_n+2
=a₁²+a₂²+a₃²+（a₅-a₄+1）+…+（a_n+3-a_n+2+1）-a₁a₂…a_n+2
=a₁²+a₂²+a₃²+（a_n+3-a₄+n-1）-（1+a_n+3）
=10+n-a₄．
又a₄=a₁a₂a₃-1=7，故b_n=n+3（n∈N*）．
所以数列{b_n}为等差数列，且b_n=n+3． …（8分）
（2）因  c_n=1+1(n+3)2+1(n+4)2=((n+3)(n+4)+1)2(n+3)2(n+4)2，…（12分）
故  cn=(n+3)(n+4)+1(n+3)(n+4)=1+1(n+3)(n+4)=1+1n+3-1n+4．
所以  Sn=(1+14-15)+(1+15-16)+…+(1+1n+3-1n+4)=n+14-1n+4，…（15分）
即  n＜S_n＜n+1． …（16分）

解析

1(n+3)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=a2=a3=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。