已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时an=an-1-3，(an-1＞3)4-an-1，(an-1≤3)，当a=100时，求数列{an}的前1

题文

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时an=an-1-3，(an-1＞3)4-an-1，(an-1≤3)，
（Ⅰ）当a=100时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（Ⅱ）证明：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=100时，由题意知数列a_n的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，
从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S₁₀₀=（100+97+94+…+1）+（3+1+3+1+…+3+1）=(100+1)×342+(3+1)×662=1717+132=1849．
（2）证明：①若0＜a₁≤3，则题意成立；
②若a₁＞3，此时数列a_n的前若干项满足a_n-a_n-1=3，即a_n=a₁-3（n-1）．
设a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），
则当n=k+1时，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．
从而，此时命题成立．
综上：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．

解析

(100+1)×342

考点

据考高分专家说，试题“已知a为实数，数列{an}满足a1=a，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。