数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=12an+1(n∈N*)．求a2，a3．求数列{an}的通项an；求数列{nan}的前n项和Tn

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，Sn=12an+1(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃．
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）求数列{na_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令n=1，得到S₁=a₁=12a₂，由a₁=1，得到a₂=2，
令n=2，得到S₂=a₁+a₂=12a₃，
则a₃=2（1+2）=6；（3分）
（2）∵a_n+1=2S_n，∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴Sn+1Sn=3．
又∵S₁=a₁=1，
∴数列S_n是首项为1，公比为3的等比数列，S_n=3^n-1（n∈N^*）．（5分）
当n≥2时，a_n=2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴an=1，n=12•3n-2，n≥2；（8分）
（3）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
当n=1时，T₁=1；
当n≥2时，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2①，
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1②，
①-②得：-2T_n=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1
=2+2•3(1-3n-2)1-3-2n•3n-1
=-1+（1-2n）•3^n-1．
∴Tn=12+(n-12)3n-1(n≥2)．
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
∴Tn=12+(n-12)3n-1(n∈N*)．（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。