数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n-1，则a12+a22+a32+…+an2等于A．2B．12(9n-1)

题文

数列{a_n}中，已知对任意n∈N^*，a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（ ）A．（3ⁿ-1）²B．12(9n-1)C．9ⁿ-1D．14(3n-1) 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，①
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n+1=3ⁿ⁺¹-1，②
②-①得：a_n+1=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2×3ⁿ，
∴a_n=2×3^n-1．
当n=1时，a₁=3¹-1=2，符合上式，
∴a_n=2×3^n-1．
∴an2=4×9^n-1，
∴a12=4，an+12an2=9，
∴{an2}是以4为首项，9为公比的等比数列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=4×(1-9n)1-9=12（9ⁿ-1）．
故选B．

解析

an+12an2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。