在数列{an}与{bn}中，数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2+2n，数列{bn}的前n项和Tn满足3Tn=nbn+1，且b1=1，n∈N*．求数列

题文

在数列 {a_n} 与 {b_n} 中，数列 {a_n} 的前n项和S_n满足 S_n=n²+2n，数列 {b_n} 的前n项和T_n满足 3T_n=nb_n+1，且b₁=1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列 {a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {b_n} 的通项公式；
（Ⅲ）设 c_n=bn(an-1)n+1cos2nπ3，求数列 {c_n} 的前n项和R_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n=n²+2n，…①
∴S_n-1=（n-1）²+2（n-1），n≥2． …②
①-②得 a_n=2n+1，n≥2．   …2分
∵a₁=S₁=3 满足上式，
∴a_n=2n+1，n∈N^*．   …4分
（Ⅱ）∵3T_n=nb_n+1，…③
∴3T_n-1=（n-1）b_n，n≥2． …④
③-④得 3b_n=nb_n+1-（n-1）b_n，即 bn+1bn=n+2n，n≥2．  …5分
∴b3b2=42，b4b3=53，b5b4=64，…，bnbn-1=n+1n-1．
将以上各式连乘得bnb2=n(n+1)6，n≥2．  …7分
∵b₁=1，∴b₂=3．
∴bn=n(n+1)2，n≥2． …8分
∵b₁=1满足上式，
∴bn=n(n+1)2，n∈N^*． …9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得 cn=n2cos2nπ3，…10分
（1）当 n=3k （k∈N^*）时，
R_n=（c₁+c₂+c₃）+（c₄+c₅+c₆）+…+（c_3k-2+c_3k-1+c_3k）
=（-122-222+3²）+（-422-522+6²）+…+[-(3k-2)22-(3k-1)22+（3k）²]
=132+312+…+18k-52=9k2+4k2=3n2+4n6．
（2）当 n=3k-1（k∈N^*）时，
R_n=9k2+4k2-c_3k=-9k2+4k2=-3n2-2n+16．
（3）当 n=3k-2（k∈N^*）时，
R_n=-9k2+4k2-c_3k-1=-2k+12=-2n-16．
综上，R_n=3n2+4n6，n=3k-3n2-2n+16，n=3k-1-2n-16，n=3k-2（k∈N^*） …14分．

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}与{bn}中，数列{an}.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。