已知等差数列{an}的公差大于零，且a2，a4是方程x2-18x+65=0的两个根；各项均为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且满足b3=a3，S3=13

题文

已知等差数列{a_n}的公差大于零，且a₂，a₄是方程x²-18x+65=0的两个根；各项均为正数的等比数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b₃=a₃，S₃=13．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足cn=an ，n≤5bn  ，n＞5，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则
由x²-18x+65=0解得x=5或x=13
因为d＞0，所以a₂＜a₄，则a₂=5，a₄=13
则a1+d=5a1+3d=13，解得a₁=1，d=4
所以a_n=1+4（n-1）=4n-3…（4分）
因为b3=b1q2=9b1+b1q+b1q2=13，因为q＞0，解得b₁=1，q=3
所以bn=3n-1…（7分）
（2）当n≤5时，T_n=a₁+a₂+…+a_n
=n+n(n-1)2×4=2n²-n…（9分）
当n＞5时，T_n=T₅+（b₆+b₇+…+b_n）
=(2×52-5)+33(1-3n-5)1-3
=3n-1532
所以Tn=2n2-n，n≤53n-1532，n＞5…（14分）

解析

a1+d=5a1+3d=13

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差大于零，且a2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。