设数列{an}满足：a1=，1，a2=53，an+2=53an+1+13an，(n=1，2，…)令bn=an+1-an，求数列{bn}的通

题文

设数列{a_n}满足：a1=，1，a2=53，an+2=53an+1+13an，(n=1，2，…)
（1）令b_n=a_n+1-a_n，（n=1，2…）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵bn+1=an+2-an+1=53an+1-23an- an+1
=23(an+1-an)=23bn
∴{b_n}是以公比为23的等比数列，且b1=a2-a1=23
∴b_n=(23)n
（2）由bn=an+1- an =(23)n得
a_n+1-a₁=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）
=(23)n+(23)n-1+…+ (23)2+23=2[1-(23)n ]
注意到a₁=1，可得an=3-2n3n-1
记数列{n2n-13n-1}的前n项和为T_n，则
Tn=1+2•23+…+n•(23)n-1，
23Tn=23+2•(23)2+…+n•(23)n
两式相减得
13Tn=1+23+(23)2+ …+(23)n-1-n•(23) n=3[1-(23)n]-n(23)n
故Tn=9[1-(23)n]-3n(23)n=9-(3+n)2n3n-1
从而S_n=a₁+2a₂+…+na_n=3（1+2+3+…+n）-2T_n
=32n(n+1)+(n+3)2n+13n-1-18

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足：a1=，1，a2=5.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。