设同时满足条件：①bn+bn+22≤bn+1；②bn≤M的无穷数列{bn} 叫“特界”数列．若数列{an} 为

题文

设同时满足条件：①bn+bn+22≤bn+1（n∈N^*）；②b_n≤M（n∈N*，M是与n无关的常数）的无穷数列{b_n} 叫“特界”数列．
（Ⅰ）若数列{a_n} 为等差数列，S_n是其前n项和，a₃=4，S₃=18，求S_n；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中的数列{S_n}是否为“特界”数列，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为，
a₁+2d=4，3a₁+3d=18，…（2分）
解得a₁=8，d=-2…（4分）
Sn=na1+n(n-1)2d=-n2+9n…（6分）
（Ⅱ）由Sn+ SN+2 2-Sn+1=(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1- Sn)2=an+1- an+12=d2=-1＜0
得Sn+Sn+22＜Sn+1，
故数列数列{S_n}适合条件①…（9分）
Sn=-n2+9n=-(n-92)2+814，
则当n=4或n=5时，S_n有最大值20
即S_n≤20，故数列{S_n}适合条件②．
综上，故数列{S_n}是“特界”数列．…（12分）

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“设同时满足条件：①bn+bn+22≤bn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。