设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=13．数列{bn}满足b1=1，bn是非零整数，且对任意

题文

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n=13（a_n-1+2a_n-2）（n=3，4，…）．数列{b_n}满足b₁=1，b_n（n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1≤b_m+b_m+1+…+b_m+k≤1．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=na_nb_n（n=1，2，…），求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由an=13(an-1-an-2)得an-an-1=-23(an-1-an-2)（n≥3）
又a₂-a₁=1≠0，
∴数列{a_n+1-a_n}是首项为1公比为-23的等比数列，an+1-an=(-23)n-1
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）++（a_n-a_n-1）
=1+1+(-23)+(-23)2++(-23)n-2
=1+1-(-23)n-11+23=85-35(-23)n-1，
当n为奇数时当n为偶数时
由-1≤b1+b2≤1-1≤b2≤1b2∈Z，b2≠0
得b₂=-1，
由-1≤b2+b3≤1-1≤b3≤1b3∈Z，b3≠0
得b₃=1，
同理可得当n为偶数时，b_n=-1；当n为奇数时，b_n=1；
因此bn=1，n为奇数-1，n为偶数．
（2）cn=nanbn=85n-35n(23)n-1-85n-35n(23)n-1
S_n=c₁+c₂+c₃+c₄++c_n
当n为奇数时，Sn=(85-2×85+3×85-4×85++85n)-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+4×(23)3++n(23)n-1]=4(n+1)5-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+4×(23)3++n(23)n-1]
当n为偶数时
Sn=(85-2×85+3×85-4×85+-85n)-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+4×(23)3++n(23)n-1]=-4n5-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+4×(23)3++n(23)n-1]
令Tn=1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+4×(23)3++n(23)n-1①
①×23得：23Tn=1×(23)1+2×(23)2+3×(23)3+4×(23)4++n(23)n②
①-②得：13Tn=1+(23)1+(23)2+(23)3+(23)4++(23)n-1-n(23)n=1-(23)n1-23-n(23)n=3-(3+n)(23)n
∴Tn=9-(9+3n)(23)n
当n为奇数时当n为偶数时
因此Sn=4n-235+9(n+3)5(23)n-4n+275+9(n+3)5(23)n

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足a1=1，a2=2，a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。