设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=S1•Sn，n∈N*求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；求数列{nan}的前n项和

题文

设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，n∈N^*
（Ⅰ）求a₁，a₂，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）令n=1，得2a₁-a₁=a12，即a1=a12，
∵a₁≠0，∴a₁=1，
令n=2，得2a₂-1=1+a₂，解得a₂=2，
当n≥2时，由2a_n-1=S_n得，2a_n-1-1=S_n-1，
两式相减得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1，即数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，na_n=n•2^n-1，设数列{na_n}的前n项和为T_n，
则T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，②
①-②得，-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）2ⁿ．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。