已知数列{an}的首项a1=2，其前n项和为Sn，当n≥2时，满足an-2n=Sn-1，又bn=an2n，证明：数列{bn}是等差数列；求数列{S

题文

已知数列{a_n}的首项a₁=2，其前n项和为S_n，当n≥2时，满足a_n-2ⁿ=S_n-1，又b_n=an2n，
（I）证明：数列{b_n}是等差数列；
（II）求数列{S_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意知得，a₁=2，a₂-2²=S₁=a₁=2，∴a₂=6．
n≥2时，a_n-2ⁿ=S_n-1，a_n+1-2ⁿ⁺¹=S_n，
两式相减得 a_n+1-a_n-2ⁿ=a_n
即 a_n+1=2a_n+2ⁿ  （n≥2）
于是an+12n+1=an2n+12
即 b_n+1-b_n=12   n≥2
又b₁=a12 =1，b2=a222=32，b₂-b₁=12，
所以数列{b_n}是首项为1，公差为0.5的等差数列．
（II）由（I）知，bn=1+(n-1)×12=n+12，
a_n=b_n2ⁿ=（n+1）2^n-1，
又n≥2时a_n-2ⁿ=S_n-1，S_n-1=（n-1）2^n-1，
∴S_n=n•2ⁿ
∴T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，…①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹…②
②-①可得
T_n=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

解析

an+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=2，其前n项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。