已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5，a1，a2．a5成等比数列求数列{an}的通项公式：若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n

题文

已知等差数列{a_n}的公差不为零，且a₃=5，a₁，a₂．a₅ 成等比数列
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）若数列{b_n}满足b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n且数列{b_n}的前n项和T_n 试比较T_n与3n-1n+1的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意a1a5=a22a3=5，∴a1(a1+4d)=(a1+d)2a1+2d=5，
解得a1=1d=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）∵b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，①
b₁+2b₂+4b₃+…+2n-1bn+2nbn=an+1，②
②-①得2ⁿb_n+1=2，∴bn+1=21-n．
当n=1时，b₁=a₁=1，∴bn=22-n，当m≥2时1，当n=1时，
当n=1时，T₁=a₁=1，3×1-11+1=1，此时Tn=3n-1n+1．
当n≥2时，T_n=1+4(122+123+…+12n)
=1+4×122(1-12n-1)1-12=3-12n-2．
又2n=(1+1)n=C0n+C1n+…+Cnn＞n+1，
∴12n-2=42n＜4n+1，3-12n-2＞3-4n+1=3n-1n+1．
∴当n=1时，Tn=3n-1n+1，当n≥2时，Tn＞3n-1n+1．

解析

a1a5=a22a3=5

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差不为零，且a3.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。