已知等比数列{an}的公比为q的等比数列，且a2011，a2013，a2012成等差数列．求公比q的值；设{bn}是以2为首项，q为公差的

题文

已知等比数列{a_n}的公比为q（q≠1）的等比数列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差数列．
（Ⅰ）求公比q的值；
（Ⅱ）设{b_n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由数列{a_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差数列，
所以2a₂₀₁₃=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂，即2a2011q2=a2011+a2011q，
∵a₂₀₁₁≠0，∴2q²-q-1=0．
∴q=1或q=-12，
又q≠1，∴q=-12；
（Ⅱ）数列{b_n}是以2为首项，q为公差的等差数列，
公差q=-12，则Sn=2n+n(n-1)2•(-12)=-n2+9n4．
当n≥2时，Sn-bn=Sn-1=-(n-1)2+9(n-1)4
=-n2+11n-104=-(n-1)(n-10)4，
故对于n∈N^*，当2≤n≤9时，S_n＞b_n；
当n=10时，S_n=b_n；
当n≥11时，S_n＜b_n．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的公比为q（q≠1）.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。