已知点是函数f=ax的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn=f-1．求数列{an}的通项公式；将数列{an

题文

已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）将数列{a_n}前2013项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列{a_n}前2013项中剩余项的和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）把点（1，2）代入函数f（x）=a^x，得a=2．…（1分）
∴S_n=f（n）-1=2ⁿ-1，…（2分）
当n=1时，a₁=S₁=2¹-1=1；…（3分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1…（5分）
经验证可知n=1时，也适合上式，
∴a_n=2^n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{a_n}为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2013项也为等比数列，首项a₃=2^3-1=4，公比q=2³，a₂₀₁₃=2²⁰¹²为其第671项…（8分）
∴此数列的和为4(1-8671)1-8=4(22013-1)7…（10分）
又数列{a_n}的前2013项和为S₂₀₁₃=1×(1-22013)1-2=2²⁰¹³-1，…（12分）
∴所求剩余项的和为（2²⁰¹³-1）-4(22013-1)7=3(22013-1)7…（13分）

解析

4(1-8671)1-8

考点

据考高分专家说，试题“已知点（1，2）是函数f（x）=ax（a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。