设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，a2=8，Sn+1+4Sn-1=5Sn，Tn是数列{log2an}的前n项和．求数列{an}的通项

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是数列{log₂a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n；
（3）求满足(1-1T2)(1-1T3)…(1-1Tn)＞10102013的最大正整数n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵当n≥2时，S_n+1+4S_n-1=5S_n，
∴S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1）．∴a_n+1=4a_n．
∵a₁=2，a₂=8，∴a₂=4a₁．
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公比为4的等比数列．
∴an=2•4n-1=22n-1．
（2）由（1）得：log₂a_n=log₂2^2n-1=2n-1，
∴T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=1+3+…+（2n-1）=n(1+2n-1)2=n²．
（3）(1-1T2)(1-1T3)•…•(1-1Tn)=(1-122)(1-132)•…•(1-1n2)
=22-122•32-132•42-142•…•n2-1n2=1•3•2•4•3•5•…•(n-1)(n+1)22•32•42•…•n2=n+12n．
令n+12n＞10102013，解得：n＜28747．
故满足条件的最大正整数n的值为287．

解析

n(1+2n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。