已知数列{an}中，a1=1，an＜an+1，设bn=an+1-anan+1•an+1，Sn=b1+b2+…+bn，求证：bn＜2(1an-1an+1)；

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n＜a_n+1，设b_n=an+1-anan+1•an+1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：
（Ⅰ）bn＜2(1an-1an+1)；
（Ⅱ）若数列{a_n}是公比为q且q≥3的等比数列，则S_n＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（Ⅰ）由题意可知a_n＞0
∵bn-2(1an-1an+1)
=an+1-anan+1•an+1-2(1an-1an+1)
=an+1-anan+1an+1-2an+1-anan+1•an
=(an+1-an)(an+1•an+an-2an+1)an+1•an+1•an．
又a_n＜a_n+1，∴an+1-an＞0，an+1•an＜an+1，
an+1•an+an-2an+1＜0，
则(an+1-an)(an+1•an+an-2an+1)an+1•an+1•an＜0．
∴bn＜2(1an-1an+1)；
（Ⅱ）数列{a_n}是首项a₁=1，公比为q且q≥3的等比数列，
∴an=a1qn-1=qn-1．
∴bn=an+1-anan+1•an+1=qn-qn-1q3n2=q-n2(1-q-1)．
S_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1-q-1)(q-12+q-22+q-32+…+q-n2)
=(1-q-1)•q-12(1-q-n2)1-q-12
=(1q+1q)(1-1qn)．
∵q≥3，∴0＜1q+1q≤13+13=3+13＜1．
0＜1-1qn＜1．
∴Sn=(1q+1q)(1-1qn)＜1．

解析

1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，an＜an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。