题文
已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，…．（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，an≥11+x-1(1+x)2(23n-x)，n=1，2，…；
（Ⅲ）证明：a1+a2+…+an＞n2n+1． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）∵an+1=3an2an+1，∴1an+1=23+13an，∴1an+1-1=13(1an-1)，
又1an-1=23，
∴(1an-1)是以23为首项，13为公比的等比数列．
∴1an-1=23•13n-1=23n，∴an=3n3n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=3n3n+2＞0，11+x-1(1+x)2(23n-x)=11+x-1(1+x)2(23n+1-1-x)=11+x-1(1+x)2[1an-(1+x)]=-1an•1(1+x)2+21+x=-1an(11+x-an)2+an≤an，
∴原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的x＞0，有a1+a2++an≥11+x-1(1+x)2(23-x)+11+x-1(1+x)2(232-x)++11+x-1(1+x)2(23n-x)=n1+x-1(1+x)2(23+232++23n-nx)．
∴取x=1n(23+232++23n)=23(1-13n)n(1-13)=1n(1-13n)，
则a1+a2++an≥n1+1n(1-13n)=n2n+1-13n＞n2n+1．∴原不等式成立．
解析
3an2an+1考点
据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=35，an+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
