设数列{an}的前n项的和为Sn，满足a1=1，Sn+1an+1-Snan=12n．求证：Sn=an；求数

题文

设数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和为S_n，满足a₁=1，Sn+1an+1-Snan=12n（n∈N^*）．
（1）求证：S_n=（2-12n-1）a_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和为S_n，满足a₁=1，Sn+1an+1-Snan=12n（n∈N^*）．
所以S2a2-S1a1 =12，
 S3a3-S2a2=14；
S4a4-S3a3=18；
…
Snan-Sn-1an-1=12n-1；
将n-1个式子相加可得：Snan-S1a1=12+122+ 123+…+12n-1，
所以Snan=1+12+122+123+…+12n-1=1-12n-11-12=2-12n-1；
∴S_n=（2-12n-1）a_n；
（2）因为S_n=（2-12n-1）a_n；
所以S_n-1=（2-12n-2）a_n-1；（n≥2）
所以a_n=（2-12n-1）a_n-（2-12n-2）a_n-1；可得12an =an-1，
因为a₂=2，当n=1时，满足数列{a_n}是等比数列公比为2．
所以a_n=2^n-1．

解析

Sn+1an+1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}（n∈N*）的前n项的和为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。