已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．求数列{an}与{bn}的通项公

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意正整数n均有c1b1+c2b2+c3b3+…+cnbn=(n+1)an+1成立，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）
∵a₁=1，
∴d=2，
∴a_n=2n-1，
∵b₂=a₂=1+2=3，
b₃=a₅=1+8=9，
∴b1q=3b1q2=9，
∴b₁=1，q=3，
∴b_n=3^n-1（5分）
（2）当n=1时，c₁=2a₂×b₁=18；
当n≥2时，cnbn=(n+1)an+1-nan=4n+1，
∴c_n=（4n+1）•3^n-1，故cn=18，n=1(4n+1)•3n-1，n≥2，
∴S_n=c₁+c₂．+…+c_n=18+9×3+13×3²+17×3³+…+（4n-3）×3^n-2+（4n+1）×3^n-1，①
3S_n=54+9×3²+13×3³+17×3⁴…+（4n-3）×3^n-1+（4n+1）×3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=-9+4（3²+3³+3⁴+…+3^n-1）-（4n+1）×3ⁿ
=-9+4×9(1-3n-2)1-3-（4n+1）×3ⁿ
=-9+2×3ⁿ-18-（4n+1）×3ⁿ
=-27+（1-4n）×3ⁿ，
∴Sn=4n-12×3n+272．

解析

b1q=3b1q2=9

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=1，公差.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。