已知数列{an}的通项为an，前n项和为sn，且an是sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P在直线x-y+2=0上．求数列{

题文

已知数列{a_n}的通项为a_n，前n项和为s_n，且a_n是s_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n，b_n
（Ⅱ）设{b_n}的前n项和为B_n，试比较1B1+1B2+…+1Bn与2的大小．
（Ⅲ）设T_n=b1a1+b2a2+…+bnan，若对一切正整数n，T_n＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意可得2a_n=s_n⁺2，
当n=1时，a₁=2，
当n≥2时，有2a_n-1=s_n-1⁺2，两式相减，整理得a_n=2a_n-1即数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故a_n=2ⁿ．
点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上得出b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2，
即数列{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
因此b_n=2n-1．
（Ⅱ）B_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²
∴1B1+1B2+…+1Bn=112+122+132+…+1n2＜1+11×2+12×3+..+1(n-1)．n=1+(1-12)+(12-13)+…+(1n-1-1n)
=2-1n＜2∴1B1+1B2+…+1Bn＜2．
（Ⅲ）T_n=12+322+523+…+2n-12n①
12Tn=122+323+524+…+2n-12n+1②
①-②得12Tn=12+122+123+223+…+22n-2n-12n+1
∴Tn=3-12n-2-2n-12n＜3
又T4=12+322+423+724=3716＞2
∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．

解析

1B1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的通项为an，前n项和为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。