设等比数列{an}的公比q≠1，Sn表示数列{an}的前n项的和，Tn表示数列{an}的前n项的乘积，Tn表示{an}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项

题文

设等比数列{a_n}的公比q≠1，S_n表示数列{a_n}的前n项的和，T_n表示数列{a_n}的前n项的乘积，T_n（k）表示{a_n}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，即T_n（k）=Tnak（n，k∈N⁺，k≤n），则数列SnTnTn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)的前n项的和是______（用a₁和q表示） 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵等比数列{a_n}的公比q≠1，
S_n表示数列{a_n}的前n项的和，T_n表示数列{a_n}的前n项的乘积，
T_n（k）=Tnak（n，k∈N⁺，k≤n），
∴TnTn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
=a1×a2×a3×…×ana2×a3×…×an+a1×a3×…×an+a1×a2×…×an-1
=a1n•qn(n-1)2a1n-1•qn(n-1)2+a1n-1•q(n-2)(n+1)2+…+a1n-1•q(n-2)(n-1)2
=a11+q-1+q-2+…+q1-n
=a1•(1-q1-n)1-q-1，
∵S_n=a1(1-qn)1-q，
∴SnTnTn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)=a12(1+q-qn-q1-n)2-q-q-1，
数列SnTnTn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)的前n项的和
S=a122-q-q-1[（1+q-q-1）+（1+q-q²-q^-1）+（1+q-q³-q^-2）+…+（1+q-qⁿ-q^1-n）]
=a122-q-q-1[n+nq-q(1-qn)1-q-q-1(1-q1-n)1-q-1]
=a122-q-q-1（n+nq-q-qn+1+1-q1-n1-q）．
故答案为：a122-q-q-1（n+nq-q-qn+1+1-q1-n1-q）．

解析

Tnak

考点

据考高分专家说，试题“设等比数列{an}的公比q≠1，Sn表示.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。