题文
将数列{an}中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：①在数列{bn}中，b1=1，对于任何n∈N*，都有（n+1）bn+1-nbn=0；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；a1 a2 a3a4 a5 a6 a7a8 a9 a10 a11 a12…
③a66=25．请解答以下问题：
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求上表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）；
（Ⅲ）若关于x的不等式S(k)+1k＞1-x2x在x∈[1200 ， 120]上有解，求正整数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由（n+1）bn+1-nbn=0，得数列{nbn}为常数列．故nbn=1•b1=1，所以bn=1n．（Ⅱ）∵3+4+…+11=63，
∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项，a66在表中第十行第三列．
故a66=b10•q2，而b10=110，∴q=2．
故S(k)=bk( 1-qk+2)1-q=1k( 2k+2-1 )．
（Ⅲ）f(x)=1-x2x=1x-x在x∈[1200 ， 120]上单调递减，
故f（x）的最小值是f(120)=20-120．
若关于x的不等式S(k)+1k＞1-x2x在x∈[1200 ， 120]上有解，
设m(k)=S(k)+1k=1k•2k+2，则必须m(k)＞20-120．
∵m(k+1)-m(k)=1k+1•2k+3-1k•2k+2=2k+2( k-1 )k ( k+1 )≥0（或m(k+1)m(k)=2kk+1≥1）
∴m（1）=m（2）=8，函数m（k）当k≥2且k∈N*时单调递增．
而m（4）=16，m(5)=1285＞20-120，所以k的取值范围是大于4的一切正整数．
解析
1n考点
据考高分专家说，试题“将数列{an}中的所有项按第一排三项，以.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
