设数列{xn}各项为正，且满足x12+x22+…xn2=2n2+2n．求xn；已知1x1+x2+1x2+x3+…+1xn+xn+1=3，求n；

题文

设数列{x_n}各项为正，且满足x₁²+x₂²+…x_n²=2n²+2n．
（1）求x_n；
（2）已知1x1+x 2+1x2+x3+…+1xn+xn+1=3，求n；
（3）证明：x₁x₂+x₂x₃+…x_nx_n+1＜2[（n+1）²-1]． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{x_n}各项为正，且满足x₁²+x₂²+…x_n²=2n²+2n．
∴x₁=2
当n，x_n²=2n²+2n-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，∴x_n=2n
∵x₁=2也满足上式，∴x_n=2n
（2 ）∵1xn+xn+1=12 (n+n+1)=12(n+1-n)
∴1x1+x 2+1x2+x3+…+1xn+xn+1=12(n+1-1)=3
∴n=48
（3）x_nx_n+1=2n2n+1=4nn+1＜4n+(n+1)2=4n+2
∴x₁x₂+x₂x₃+…x_nx_n+1＜（4×1+2）+（4×2+2）+…（4n+2）=6+(4n+2)2n=2[（n+1）²-1]．

解析

n

考点

据考高分专家说，试题“设数列{xn}各项为正，且满足x12+x.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。