数列{an}的前n项和Sn=n2+n，设数列{bn}，bn=2an．求数列{bn}的前n项和Tn；求Rn=a1b1+a2b2+…+anbn．

题文

数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，设数列{b_n}，bn=2an．
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）求R_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵n=1时，a₁=S₁=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
∴a_n=2n，∴b_n=2²ⁿ=4ⁿ，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=4¹+4²+…+4ⁿ
=4(1-4n)1-4=43(4n-1)．
（2）R_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2×4¹+4×4²+…+2n×4ⁿ…①
两边同乘以4得：4R_n=2×4²+4×4³+…+2n×4ⁿ⁺¹…②
①-②得：-3R_n=2×4¹+2×4²+2×4³+…+2×4ⁿ-2n×4ⁿ⁺¹
=2×4(1-4n)1-4-2n×4ⁿ⁺¹=（83-8n）4ⁿ-83，
∴R_n=（83n-89）4ⁿ+89．

解析

4(1-4n)1-4

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和Sn=n2+n，设.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。