设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*都有2pSn=an2+pan求数列{an}的通项公式；

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*都有2pS_n=a_n²+pa_n（其中p＞0为常数）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有1S1+1S2+…+1Sn＜1成立，求p的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，2pS₁=a₁²+pa₁，∴a₁=p，
∵2pS_n=a_n²+pa_n，∴n≥2时，2pS_n-1=a_n-1²+pa_n-1，
两式相减可得p（a_n+a_n-1）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=p
∴数列{a_n}是首项和公差都为p的等差数列
∴a_n=np；
（2）由（1）知Sn=n(p+np)2，∴1Sn=2p(1n-1n+1)
∴1S1+1S2+…+1Sn=2p（1-12+12-13+…+1n-1n+1）=2p(1-1n+1)=2p•nn+1
∵对任意n∈N^*都有1S1+1S2+…+1Sn＜1成立，
∴2p•nn+1＜1
∴nn+1＜p2
∵nn+1＜1
∴p2≥1，即p≥2．

解析

n(p+np)2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。