已知数{an}，其中a1=1，an=an-1.3n-1，数列{bn}的前n项和Sn=log3(an9n）求数列{bn}

题文

（理）已知数{a_n}，其中a₁=1，a_n=a_n-1.3^n-1（n≥2，且n∈N），数列{bn}的前n项和Sn=log3(an9n）（n∈N）
（Ⅰ）求数列{ b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|b_n|}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1）
 ∴log3an-log3a1=1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)2
∴log3an=n(n-1)2 Sn=log3(an9n)=n2-5n2(n∈N)…(4分)
∴b1=S1=-2. 当n≥2时bn=Sn-Sn-1=n-3
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=n-3（n∈N）（2分）
（II）当b_n=n-3≤0，
即n≤3时T_n=-S_n=5n-n22；（2分） 
当b_n=n-3＞0，即n＞3时，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+|b₄|+…+|b_n|=（b₁+b₂+b₃+…+b_n）-2（b₁+b₂+b₃）
=Sn-2S3=n2-5n+122，…(3分)
综上所述T_n=5n-n22(n≤3，且n∈N)n2-5n+122(n＞3，且n∈N).（1分）

解析

 ∴log3an-

考点

据考高分专家说，试题“（理）已知数{an}，其中a1=1，an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。