已知等比数列{an}各项均为正数，且2a1+3a2=8，a32=14a2．a6．求数列{an}的前n项和Sn；若数列{bn}满足bn=1log2(S

题文

已知等比数列{a_n}各项均为正数，且2a₁+3a₂=8，a32=14a2．a6．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足bn=1log2(Sn+1)．log2(Sn+1+1)(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵正项等比数列{a_n}中，a32=14a₂•a₆=14a42，
∴q²=a42a32=4，q＞0，
∴q=2；
又2a₁+3a₂=8，即2a₁+3a₁q=8，
∴a₁=1．
∴S_n=1×(1-2n)1-2=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=1log2(Sn+1)．log2(Sn+1+1)
=1log2(2n-1+1)．log2(2n+1-1+1)
=1log22n．log22n+1
=1n(n+1)
=1n-1n+1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）
=1-1n+1
=nn+1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}各项均为正数，且2a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。