已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n∈N*，n≥2)，则该数列前n项和Sn=______．

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，an=2an-1+1 (n∈N*，n≥2)，则该数列前n项和S_n=______．题型：未知难度：其他题型

答案

由a_n=2a_n-1+1，得a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
又a₁=1，所以{a_n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，
所以a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即an=2n-1，
所以S_n=（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=2(1-2n)1-2-n
=2ⁿ⁺¹-n-2．
故答案为：2ⁿ⁺¹-n-2．

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，an=2a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如
$已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n∈N*，n≥2)，则该数列前n项和Sn=______．$
的形式，可以把
$已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n∈N*，n≥2)，则该数列前n项和Sn=______．$
表示为
$已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n∈N*，n≥2)，则该数列前n项和Sn=______．$
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
$已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n∈N*，n≥2)，则该数列前n项和Sn=______．$
的数列，其中
$已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n∈N*，n≥2)，则该数列前n项和Sn=______．$
为等差数列，
$已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n∈N*，n≥2)，则该数列前n项和Sn=______．$
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：

$已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n∈N*，n≥2)，则该数列前n项和Sn=______．$

数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。