已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn=an(an+1)2(n∈N*)求数列{an}的通项公式；设bn=12Sn，Tn=b1+b2+

题文

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且Sn=an(an+1)2(n∈N*)
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=12Sn，Tn=b1+b2+…+bn，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵Sn=an(an+1)2，
∴2Sn=an2+an，①
2Sn-1=an-12+an-1   (a≥2)，②
由①-②得：2an=an2-an-12+an-an-1，（2分）  
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴an-an-1=1   (n≥2)，
又∵a1=S1=a1(a1+1)2，
∴a₁=1，∴an=a1+(n-1)d=n   (n≥2)，（5分）
当n=1时，a₁=1，符合题意．
故a_n=n．（6分）
（Ⅱ）∵Sn=an(an+1)2=n(n+1)2，
∴bn=1n(n+1)=1n-1n+1，（10分）
故Tn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1．（12分）

解析

an(an+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正数，前n项和.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。