已知数列{an}的前n项的和Sn=n2+2n，数列{bn}是正项等比数列，且满足a1=2b1，b3=b1．求数列{an}和{bn}的通项公式

题文

已知数列{a_n}的前n项的和S_n=n²+2n，数列{b_n}是正项等比数列，且满足a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）数列{a_n}前n项的和S_n=n²+2n∴a_n=S_n-S_n-1=2n+1（n∈N，n≥2）（2分）
又a_n=S₁=3，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1（n∈N^*）（3分）
因为数列{b_n}是正项等比数列，b1=12a1=32，a3-a1=4，∴b3b1=1a3-a1=14，（4分）
公比为12，（5分）
数列{b_n}的通项公式为bn=32•12n-1=3•(12)n(n∈N*)（6分）
（2）所以cn=3(2n+1)(12)n，设数列{c_n}的前n项的和为T_nTn=3[3•12+5•(12)2+…+(2n+1)•(12)n]
12Tn=3[3•(12)2+5•(12)3+…+（2n-1）(12)n+（2n+1）(12)n+1]
(1-12)Tn=3{3•12+2[(12)2+(12)3+…+(12)n]-(2n+1)•(12)n+1}
12Tn=3{3•12+2[(12)2(1-(12)n-1)1-12]-(2n+1)•(12)n+1}
∴Tn=15-(6n+15)•(12)n（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项的和Sn=n2+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。