已知数列{an}是等差数列，且a1=2，12an+1-12an=2(cos2π6-sin2π6)求数列{an}的通项公式；令bn=an•3n+n，求

题文

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，12an+1-12an=2(cos2π6-sin2π6)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=an•3n+n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=2，12an+1-12an=2(cos2π6-sin2π6)=2cos13π=1
∴a_n+1-a_n=2
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差 数列
∴a_n=2+2（n-1）=2n
（2）∵bn=an•3n+n=2n•3ⁿ+n
∴T_n=2（1•3+2•3²+…+n•3ⁿ）+（1+2+…+n）
∴3T_n=2（      1•3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹）+3（1+2+…+n）
两式相减可得，-2T_n=2（3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹）-2•n(1+n)2
=2•3(1-3n)1-3-n(n+1)
=3ⁿ⁺¹-3-n（n+1）
∴T_n=n(n+1)+3-3n+12

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列，且a1=2，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。