已知数列{an}满足a1=1，a2=12，且[3+n]an+2-2an+2[n-1]=0，n∈N*．求a3，a4，a5，a6的值及数列{a

题文

已知数列{a_n}满足a1=1，a2=12，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，n∈N*．
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_2n-1•a_2n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a3=3，a4=14，a5=5，a6=18
当n为奇数时，a_n+2=a_n+2
所以a_2n-1=2n-1（3分）
当n为偶数时，an+2=12an即a2n=a2•(12) n-1=(12)n（5分）
因此，数列a_n的通项公式为an=n，n=2k-1(12)n2，n=2k（6分）
（2）因为bn=(2n-1)•(12)nSn=1•12+3•(12)2+5•(12)3++(2n-3)•(12)n-1+(2n-1)•(12)n12Sn=1•(12)2+3•(12)3+5•(12)4++(2n-3)•(12)n+(2n-1)•(12)n+1
两式相减得12Sn=1•12+2[(12)2++(12)n]-(2n-1)•(12)n-1（8分）
=12+2[1-(12)n+1]1-12-(2n-1)•(12)n+1=32-(2n+3)(12)n+1
∴Sn=3-(2n+3)•(12)n（12分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，a2=12.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。