若对于正整数k、g表示k的最大奇数因数，例如g=3，g=5，并且g=g，设Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…g

题文

若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N^*），设Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…g(2n)
（Ⅰ）求S₁、S₂、S₃；
（Ⅱ）求S_n；
（III）设bn=1Sn-1，求证数列{b_n}的前n顶和Tn＜32． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）S₁=g（1）+g（2）=1+1=2（1分）
S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6（2分）
S₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）
=1+1+3+1+5+3+7+1=22…（3分）
（Ⅱ）∵g（2m）=g（m），n∈N₊…（4分）
∴Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n-1)+g(2n)
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2•2^n-1）]…（5分）
=(1+2n-1)•2n-12+[g(1)+g(2)+…g(2n-1)]…（6分）
=4^n-1+S_n-1…（7分）
则Sn-Sn-1=4n-1，
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁…（8分）
=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2
=4(4n-1-1)4-1+2=13•4n+23…（9分）
（Ⅲ）bn=1Sn-1=34n-1=3(2n)2-1=3(2n-1)(2n+1)=32(12n-1-12n+1)，…（10分）Tn=32(121-1-12+1)+32(122-1-122+1)+32(123-1-123+1)+…+32(12n-1-12n+1)
=32[1-12+1+122-1-122+1+123-1+…+12n-1-1-12n-1+1+12n-1-12n+1]
=32[1-(13-13)-(122+1-123-1)-…-(12n-1+1-12n-1)-12n+1]…（11分）
∴当n=1时，T1=b1=1＜32成立  …（12分）
当n≥2时，12n-1+1-12n-1=2n-1-2n-1-1(2n-1+1)(2n-1)=2n-1-2(2n-1+1)(2n-1)≥0…（13分）
∴Tn=32[1-(12+1-122-1)-(122+1-123-1)-…(12n-1+1-12n-1)-12n+1＜32•1=32，
∴Tn＜32．…（14分）

解析

(1+2n-1)•2n-12

考点

据考高分专家说，试题“若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。