数列{an}，前n项和Sn，满足a1=12，Sn+2an+1=1(n∈N*)求数列{an}的通项公式；求数列{nSn}前n项和Tn．

题文

数列{a_n}，前n项和S_n，满足a1=12，Sn+2an+1=1(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{nS_n}前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴S_n-1+2a_n=1（n≥2）
两式相减可得，S_n-S_n-1+2a_n+1-2a_n=0
即2a_n+1=a_n
∴an+1an=12
∵a1=12
∴数列{a_n}是以12为首项以12为公比的等比数列
∴an=12•(12)n-1=(12)n
（2）：∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴Sn+2•(12)n+1=1
∴Sn=1-(12)n
∴nS_n=n-n•(12)n
令Sn=1•12+2•(12)2+…+n•(12)n
则12Sn=(12)2+2•(12)3+…+(n-1)•(12)n+n•(12)n+1
两式相减可得，12Sn=12+(12)2+…+(12)n-n•(12)n+1
=12(1-12n)1-12-n•(12)n+1
∴S_n=2-12n-1-n2n=2-2+n2n
∴Tn=1-1•12+2-2•(12)2+…+n-n•(12)n
=(1+2+3+…+n)-[1•12+2•(12)2+…+n•(12)n]
=n(n+1)2-2+2+n2n

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}，前n项和Sn，满足a1=1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。