已知数列{an}满足：a1=12，an+1=an2+an，用[x]表示不超过x的最大整数，则[1a1+1+1a2+1+…+1a2011+1]的值等于A．

题文

已知数列{a_n}满足：a1=12，an+1=an2+an，用[x]表示不超过x的最大整数，则[1a1+1+1a2+1+…+1a2011+1]的值等于（ ）A．0B．1C．2D．3 题型：未知 难度：其他题型

答案

又因为an+1=an2+an，即an+1-an =an2＞0，所以数列是增数列，
并且1an＞0，
又因为an+1=an2+an，即an+1=an (1+an)，
1an+1=1an•(1+an)=1an-11+an
所以1an+1=1an-1an+1，即1an+1=1an-1an+1，
1a1+1+1a2+1+…+1a2011+1
=1a1-1a2+1a2-1a3+…+1a2010-1a2011
=1a1-1a2011＜1a1=2，
a1=12，a2=34，a3=1621，
1a1+1+1a2+1=23+47＞1．
所以1a1+1+1a2+1+…+1a2011+1∈（1，2）．
所以[1a1+1+1a2+1+…+1a2011+1]=1．
故选B．

解析

1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=12，an+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。