设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足S4=8且a1、a2、a5成等比数列．求数列{an}的通项公式；设数列{bn}满足：bn-a

题文

设{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，满足S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：bn-an=2n+1，n∈N^*，T_n为数列{b_n}的前n项和，问是否存在正整数n，使得T_n=2012成立？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设数列{a_n}的公差为d，且d≠0
∵S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比数列，
∴4a1+6d=8(a1+d)2=a1(a1+4d)
解得a1=12d=1或a1=2d=0（舍去）…（3分）
∴an=12+(n-1)×1=n-12…（6分）
（II）由题知：bn=an+2n+1=n-12+2n+1，
∴T_n=2²+2³+…+2^n-1+n2(12+n-12)=12n2+2n+2-4 …（10分）
若T_n=2012，则12n2+2n+2-4=2012，即n²+2ⁿ⁺³=4032
令f（n）=n²+2ⁿ⁺³，知f（n）单调递增，
当1≤n≤8时，f（n）≤8²+2¹¹=2112＜4032
当n≥9时，f（n）≥9²+2¹²=4177＞4032，
故不存在正整数n，使得T_n=2012成立． …（14分）

解析

4a1+6d=8(a1+d)2=a1(a1+4d)

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。