已知数列{an}，{bn}满足：a1=3b1=3，a2=6，bn+1=2bn-2n，bn=an-nan-1．探究数列{bn2n}是等差

题文

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3b₁=3，a₂=6，b_n+1=2b_n-2ⁿ，b_n=a_n-na_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（I）探究数列{bn2n}是等差数列还是等比数列，并由此求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{na_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵b_n+1=2b_n-2ⁿ ，∴b_n+1-2b_n =-2ⁿ ，∴bn+12n+1- bn2n=-12．
∴数列{bn2n }构成以12为首项，以-12为公差的等差数列，∴bn2n=12-12 （n-1），
∴b_n=2n(1-n2 ）．
（II）∵b_n=a_n-na_n-1，∴a_n-2ⁿ=na_n-1-n2^n-1=n（ a_n-1-2^n-1 ），
∴an-  2nan-1-2n-1=n，
∴an- 2na1-2=an- 2nan-1-2n-1•an-1-2n-1an-2-2n-2•an-2-2n-2an-3-2n-3…a2-22a1-2 
=n（n-1）（n-2）×…×3×2，又 a₁=3，故 a_n=n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+2ⁿ，
na_n=n×n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+n 2ⁿ=（n+1）!-n!+n 2ⁿ，
∴s_n=（2!-1!）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+（（n+1）!-n!）+（1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）
=（n+1）!-1+（ 1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）．
令T_n=1×2+2×2²+…+n2ⁿ，①则 2T_n=1×2²+2×2³+…+n 2ⁿ⁺¹，②
①-②可得，-T_n=2+2²+2³+…-n 2ⁿ⁺¹，∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴s_n=（n+1）!+（n-1）2ⁿ⁺¹+1．

解析

bn+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，{bn}满足：a1=3.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。