已知数列{an}的前n项和Sn=n2-n求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足an+log3n=log3bn，求数列{bn}的前n

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足 a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和；
（3）若正数数列{c_n}满足c_nⁿ⁺¹=(n+1)an+12n（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=n²-n，∴当n=1时，有a₁=S₁=0
当n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1=（n²-n）-（（n-1）²-（n-1））=2n-2
当n=1时也满足．
∴数列 {a_n}的通项公式为a_n=2n-2（n∈N^*）
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n，得：b_n=n•3^2n-2（n∈N^*）
∴数列{b_n}的前n项和T_n =1×3⁰+2×3²+3×3⁴+…+n3^2（n-1），
故9T_n =1×3²+2×3⁴+3×3⁶+…+（n-1）3^2（n-1）+n•3²ⁿ，
相减可得-8T_n =1+3²+3⁴+…+3^2（n-1）-n•3²ⁿ=32n-18-n•3²ⁿ，
∴T_n=(3n-1)•32n+164；
（3）由c_nⁿ⁺¹=(n+1)an+12n可得：c_nⁿ⁺¹=n+1，∴lnc_n=ln(n+1)n+1
令f（x）=lnxx，则f'（x）=1-lnxx2，
∴n≥2（n∈N^*）时，{lnc_n}是递减数列，
又lnc₁＜lnc₂，
∴数列{c_n}中的最大值为c₂=313．

解析

32n-18

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=n2-n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。