已知数列{an}中，a1=a，a2=t，Sn是其前n项和，且Sn=n(an-a1)2．求a的值；试确定数列{an}是否是等差数列，若是

题文

已知数列{a_n}中，a₁=a，a₂=t（常数t＞0），S_n是其前n项和，且Sn=n(an-a1)2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）试确定数列{a_n}是否是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；
（Ⅲ）令bn=Sn+2Sn+1+Sn+1Sn+2，求证：2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3．（n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）令Sn=n(an-a1)2中n=1，即得a=0…（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：Sn=n(an-a1)2=nan2，即有2S_n=na_n，
又有2S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2）
两式相减得：2a_n=na_n-（n-1）a_n-1（n≥2），
即（n-2）a_n=（n-1）a_n-1（n≥2），…（5分）
于是（n-3）a_n-1=（n-2）a_n-2，（n-4）a_n-2=（n-3）a_n-3，…，a₃=2a₂（n≥3），
以上n-4个等式相乘得：a_n=（n-1）a₂=（n-1）t（n≥3），…（8分）
经验证a₁，a₂也适合此式，所以数列{a_n}是等差数列，其通项公式为a_n=（n-1）t．…（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得Sn=n(n-1)t2，从而可得bn=n+2n+nn+2=2+2(1n-1n+2)＞2，
故b₁+b₂+…+b_n＞2n；                                    …（11分）
b₁+b₂+…+b_n=2n+2[（1-13）+（12-14）…+(1n-1n+2)]=2n+2（1+12-1n+1-1n+2）＜2n+3
综上有，2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3．（n∈N^*）…（13分）

解析

n(an-a1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=a，a2=t（.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。