数列{an}满足a1=2，an+1=1+an1-an，则{an}的前80项的和等于______．

题文

数列{an}满足a1=2，an+1=1+an1-an，则{an}的前80项的和等于______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

对于函数y=f（x），由f(x+1)=1+f(x)1-f(x)，
则f(x+2)=1+f(x+1)1-f(x+1)=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f(x)，
f(x+3)=1+f(x+2)1-f(x+2)=1-1f(x)1+1f(x)=f(x)-1f(x)+1，
F(x+4)=1+f(x+3)1-f(x+3)=1+f(x)-1f(x)+11-f(x)-1f(x)+1=f(x)．
∴f（x）是周期为4的周期函数，
由an+1=1+an1-an，则数列{a_n}的项以4为周期周期出现，
由a₁=2，则a2=1+21-2=-3-22，
a3=1-3-221+3+22=-22，
a4=1-221+22=3-22．
∴S₈₀=20（a₁+a₂+a₃+a₄）=20(2-3-22-22+3-22)=-702．
故答案为-702．

解析

1+f(x)1-f(x)

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=2，an+1=1+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。