设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．求数列{an}的通项公式；求数列{n+12an}的前n项和Tn．

题文

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知an+1=2Sn +2(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{n+12an}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由an+1=2Sn +2(n∈N*)可得a_n=2s_n-1+2（n≥2）
两式相减可得，a_n+1-a_n=2a_n
即a_n+1=3a_n（n≥2）
又∵a₂=2a₁+2，且数列{a_n}为等比数列
∴a₂=3a₁
则2a₁+2=3a₁
∴a₁=2
∴an=2•3n-1
（II）由（I）知，an=2•3n-1
∴n+12an=n+14•3n-1
Tn=24•30+34•31+44•32+…+n+14•3n-1
13Tn=24•31+34•32+…+n4•3n-1+n+14•3n
两式相减可得，23Tn=24•30+14•3+14•32+…+14•3n-1-n+14•3n
=12+14×13(1-13n-1)1-13-n+14•3n=58-2n+58•3n

解析

n+12an

考点

据考高分专家说，试题“设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。