设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=nan-n．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足：an=b13+1+b23×2+1

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，S_n=na_n-n（n-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：a_n=b13+1+b23×2+1+b33×3+1+…+bn3n+1，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令c_n=anbn4（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）n≥2时，S_n=na_n-n（n-1），
∴S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），
两式相减得a_n=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），则（n-1）a_n=（n-1）a_n-1+2（n-1），
∴a_n=a_n-1+2
∴{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n；
（II）∵a_n=b 13+1+b 23×2+1+b 33×3+1+…+bn3n+1，
∴a_n-1=b 13+1+b 23×2+1+b 33×3+1+…+b n-13(n-1)+1，
∴当n≥2时，有a_n-a_n-1=b n3n+1，
由（I）得a_n-a_n-1=2，
∴b_n=2（3n+1），
而当n=1时，也成立，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2（3n+1）（n∈N^*），
（III）c_n=a nb n4=2n•2(3n+1)4=3n²+n，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=3（1²+2²+3²+…+n²）+（1+2+3+…+n）
=3×16n（n+1）（2n+1）+12n（n+1）
=16n（n+1）（4n+5）．

解析

b 13+1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。