题文
在数列{an}中，a1=1、a2=14，且an+1=(n-1)ann-an(n≥2)．（Ⅰ） 求a3、a4，猜想an的表达式，并加以证明；
（Ⅱ） 设bn=an•an+1an+an+1，求证：对任意的自然数n∈N*，都有b1+b2+…+bn＜n3． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ） （1）∵a1=1、a2=14，且an+1=(n-1)ann-an(n≥2)，∴a3=a22-a2=17，a4=2a33-a3=110
故可以猜想an=13n-2，下面利用数学归纳法加以证明：
（i） 显然当n=1，2，3，4时，结论成立，
（ii） 假设当n=k（k≥4），结论也成立，即ak=13k-2
那么当n=k+1时，由题设与归纳假设可知：ak+1=(k-1)akk-ak=(k-1)×13k-2k-13k-2=13(k+1)-2
即当n=k+1时，结论也成立，
综上，an=13n-2成立．
（Ⅱ）证明：bn=an•an+1an+an+1=13(3n+1-3n-2)
所以b1+b2+…+bn=13[(4-1)+(7-4)+…+(3n+1-3n-2)]=13(3n+1-1)
所以只需要证明13(3n+1-1)＜n3
只需证明3n+1＜3n+1
只需证明：3n+1＜3n+23n+1
只需证明0＜23n，显然成立
所以对任意的自然数n∈N*，都有b1+b2+…+bn＜n3．
解析
14考点
据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1、a2=14，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
