已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+an．求a1，a2，a3；求数列{an}的通项公式；若bn

题文

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=n(12)an，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a₁=1，a₂=2，a₃=3．（3分）
（Ⅱ）2S_n=a_n²+a_n，①2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，（n≥2）②（5分）
①-②即得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，（6分）
因为a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1，所以a_n=n（n∈N^*）（8分）
（Ⅲ）（Ⅲ）∵bn=n(12)n，
∴Tn=12+2×(12)2+…+n×(12)n，
12Tn=(12)2+2×(12)3+…+n×(12)n+1．
两式相减得，12Tn =12+(12)2 +…+(12)n-n×(12)n+1
=1-2+n2n+1．
所以Tn=2-2+n2n．（13分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正数，其前n项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。