已知函数f=log33x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f图象上的两点，横坐标为12的点P满足2OP=OM+ON．

题文

已知函数f（x）=log₃3x1-x，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为12的点P满足2OP=OM+ON（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=16，                          n=114(Sn+1)(Sn+1+1)，n≥2，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知可得，OP=12(OM+ON)，
∴P是MN的中点，有x₁+x₂=1．
∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）
=log33x11-x1+log33x21-x2
=log3(3x11-x1•3x21-x2)
=log33x1x2(1-x1)(1-x2)
=log33x1x21-(x1+x2)+x1x2
=log33x1x21-1+x1x2=1．
（2）由（Ⅰ）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₁）=1
Sn=f(1n)+f(2n)++f(n-1n)，
Sn=f(n-1n)++f(2n)+f(1n)，
相加得
2Sn=[f(1n)+f(n-1n)]+[(2n)+f(n-2n)]++[f(n-1n)+f(1n)]
=1+1++1(n-1)个1
=n-1
∴Sn=n-12．
（3）当n≥2时，
an=14(Sn+1)(Sn+1+1)=14×n+12•n+22=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2．
又当n=1时，
a1=16=12-13．
∴an=1n+1-1n+2．
Tn=(12-13)+(13-14)+…+(1n+1-1n+2)=n2(n+2)．
由于T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，
m＞TnSn+1+1=n(n+2)2=1n+4n+4
∵n+4n≥4，当且仅当n=2时，取“=”，
∴1n+4n+4≤14+4=18
因此m＞18．
综上可知，m的取值范围是(18，+∞)．

解析

OP

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log33x1-x，M.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。