已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an=2-(12)n．求数列{an}的通项公式；若cnn+1=ann+2，Tn=c1+c2+…

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，Sn+an=2-(12)n（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若cnn+1=ann+2，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵Sn+an=2-(12)n，∴n≥2时，Sn-1+an-1=2-(12)n-1
两式相减可得2a_n-a_n-1=(12)n，
∴2n+1an-2nan-1=1还
∵n=1时，S1+a1=2-(12)1，∴a1=34，∴2²a₁=3
∴{2ⁿ⁺¹a_n}是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴2ⁿ⁺¹a_n=n+2，∴an=n+22n+1；
（2）∵cnn+1=ann+2，∴cn=n+1n+2an=n+1n+2×n+22n+1=n+12n+1，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=222+323+424+…+n2n+n+12n+1，
2T_n=22+322+423+…+n+12n，
两式相减得T_n=22+122+123+…12n-n+12n+1=12+12+122+…+12n-n+12n+1
=12+12(1-12n)1-12-n+12n+1
=32-2+n2n+1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。