记数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1．已知数列{bn}满足bn-2=3log3an．求{an}和{bn}的通项公式；设c

题文

记数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1．已知数列{b_n}满足b_n-2=3log₃a_n．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1，（n≥2）
两式相减，得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n，（n≥2）
又a₂=2S₁+1，∴a₂=3a₁．
所以{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴a_n=3^n-1．…（4分）
又∵b_n=3log₃a_n+2=3log₃3^n-1+2=3（n-1）+2=3n-1．
∴b_n=3n-1..…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得c_n=（3n-1）×3^n-1..…（8分）
∴T_n=2×1+5×3¹+8×3²+…+（3n-4）×3^n-2+（3n-1）×3^n-1，…（9分）
3T_n=2×3+5×3²+8×3³+…+（3n-4）×3^n-1+（3n-1）×3ⁿ，
两式相减，得：-2T_n=2+3×3+3×3²+…+3×3^n-1-（3n-1）×3ⁿ=-12-6n-52×3n，
∴Tn=14+6n-54•3n…（13分）
应改为：-2T_n=2+3×3+3×3²+…+3×3^n-1-（3n-1）×3ⁿ=-52-6n-52×3n，
∴Tn=54+6n-54•3n…（13分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“记数列{an}的前n项和为Sn，且a1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。